89 指考數學甲第 6 題

Question

設實係數二次方程式 $x^2+x+c=0$ 的兩根 $a$、$b$ 都不是實數，而且 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$ 也正是此方程式的兩根，則 $a^2+b^2$ 的數值為 ____。

Accepted Answer

答案：$-1$
由根與係數關係得：
$$a + b = -1, \ ab = c$$

又 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$ 也為此方程式的兩根，故：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -1 \implies \frac{a+b}{ab} = -1 \implies \frac{-1}{c} = -1 \implies c = 1$$

此時方程式為 $x^2+x+1=0$，其判別式為 $1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$，兩根確實非實數。

故所求為：
$$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-1)^2 - 2c = 1 - …