89 指考數學甲第 10 題

Question

已知從點 $(1,2,2)$ 到球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 所作所有切線的切點都會在同一平面上，則此平面之方程式為 $\Box$。

Accepted Answer

答案：$x+2y+2z=1$
本題即求點 $(1,2,2)$ 對球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的極平面（polar plane）方程式。

過球外一點 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的切點所決定的平面方程式為：
$$x_0 x + y_0 y + z_0 z = R^2$$

代入 $P(1,2,2)$ 與 $R^2=1$，得平面方程式為：
$$x + 2y + 2z = 1$$

答案為 $x+2y+2z=1$。