$(1)$正確：因 $f(1) = 1 - 15 = -14 < 0$，$f(2) = 16 - 15 = 1 > 0$。由勘根定理，$f(1)f(2) < 0$，所以 $f(x) = 0$ 在 $1$ 與 $2$ 之間有實根。 $(2)$正確：因 $f(-2) = 16 - 15 = 1 > 0$，$f(-1) = 1 - 15 = -14 < 0$。由勘根定理，$f(-2)f(-1) < 0$，所以 $f(x) = 0$ 在 $-2$ 與 $-1$ 之間有實根。 $(3)$正確：當 $x > 2$ 時，$x^4 > 16$，得 $f(x) = x^4 - 15 > 1 > 0$，故 $f(x) = 0$ 沒有大於 $2$ 的實根。 $(4)$正確：當 $x < -2$ 時，$x^4 > 16$，得 $f(x) = x^4 - 15 > 1 > 0$，故 $f(x) = 0$ 沒有小於 $-2$ 的實根。 $(5)$錯誤：$f(x) = x^4 - 15 = 0 \implies x^2 = \sqrt{15}$ 或 $x^2 = -\sqrt{15}$，所以有兩個實根與兩個虛根。 故選 $(1)(2)(3)(4)$。