$(1)$正確：由算幾不等式，因為 $2^{10} \ne 2^{20}$，故其算術平均數大於幾何平均數。 $(2)$正確：同理，$\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \ne \left(\frac{1}{2}\right)^{20}$，由算幾不等式可知正確。 $(3)$正確：將兩邊平方，$(\sqrt{10}+\sqrt{20})^2 = 30 + 2\sqrt{200} > 30 = (\sqrt{30})^2$，故開根號後仍成立。 $(4)$正確：$\log 10 + \log 20 = \log 200 > \log 30$。 $(5)$正確：左式 = $\frac{100 + 400}{2} = 250$，右式 = $\left(\frac{10+20}{2}\right)^2 = 225$，故 $250 > 225$。此為「平方的平均大於平均的平方」之性質（當 $a \ne b$ 時，$\frac{a^2+b^2}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$）。 故選 $(1)(2)(3)(4)(5)$。