89 指考數學乙第 6 題

Question

某食品實驗室混合甲、乙兩種菌類製成一種新食品。調查發現乙菌個數是甲菌個數的千倍以上時，新食品才受歡迎。又知道甲菌一日後增加一倍，乙菌增加三倍（成為原來的四倍）。現在取同數量的甲、乙兩種菌，讓它們同時繁殖。試問至少第$\underline{\hspace{2em}}$天後混合甲、乙兩種菌類才能製成受歡迎的食品。（已知 $\log 2 \approx 0.3010$）

Accepted Answer

答案：10
設最初甲、乙兩菌皆為 $a$ 個。
繁殖 $n$ 天後，甲菌為 $a \cdot 2^n$ 個，乙菌為 $a \cdot 4^n$ 個。
根據題意需滿足：
$$a \cdot 4^n \ge 1000 \cdot a \cdot 2^n \implies 2^{2n} \ge 1000 \cdot 2^n \implies 2^n \ge 1000$$
兩邊取常用對數：
$$n \log 2 \ge \log 1000 = 3 \implies n \ge \frac{3}{\log 2} \approx \frac{3}{0.3010} \approx 9.97$$
邊界正整數條件下，至少第…