假設整係數方程式 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 40 = 0$ 有四個相異的正整數根，則四根之和為____。
詳解
設四個相異正整數根為 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$，則：
$$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 40 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)$$
由根與係數的關係，四根的乘積為：
$$\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \delta = 40$$
因為 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 均為 $40$ 的相異正因數。
$40$ 的正因數有：$1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40$。
若要滿足相異四正整數乘積為 $40$，則此四根只能是 $1, 2, 4, 5$。
所以四根之和為：
$$1 + 2 + 4 + 5 = 12$$
題目來源：民國90年大學聯考數學科試題（自然組） 第7題（來源PDF第9頁）
資料版本：2026-07-05（commit 06b4ff14）
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