解法一：建立空間直角坐標系。 設正立方體邊長為 $2$，且中心為 $O(1,1,1)$。 設頂面 $ABCD$ 在 $z=2$ 平面上，且各頂點坐標為： $A(0,0,2)$，$B(2,0,2)$，$C(2,2,2)$，$D(0,2,2)$。 因為 $P$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，故 $P(2,1,2)$； $Q$ 為 $\overline{CD}$ 的中點，故 $Q(1,2,2)$。 計算向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = P - O = (1,0,1)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{OQ} = Q - O = (0,1,1)$$ 內積與長度分別為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OP} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OQ} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1$$ $$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\right| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}, \ \left|\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}\right| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$$ 由夾角公式： $$\cos\angle POQ = \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{OP} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OQ}}{\left|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}\right| \left|\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}\right|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$$ 解法二：幾何法。 設正立方體邊長為 $2$，則 $\overline{CP}=\overline{CQ}=1$。 在直角三角形 $PCQ$ 中，由畢氏定理： $$\overline{PQ}^{2}=\overline{CP}^{2}+\overline{CQ}^{2}=1^2+1^2=2 \implies \overline{PQ}=\sqrt{2}$$ 設 $H$ 為面 $ABCD$ 的中心，則 $\overline{OH} \perp$ 面 $ABCD$ 且 $\overline{OH}=1$。 在直角三角形 $OHP$ 中，$\overline{HP}=1$，由畢氏定理： $$\overline{OP}^{2}=\overline{OH}^{2}+\overline{HP}^{2}=1^2+1^2=2 \implies \overline{OP}=\sqrt{2}$$ 同理可得 $\overline{OQ}=\sqrt{2}$。 因為 $\overline{OP}=\overline{OQ}=\overline{PQ}=\sqrt{2}$，所以 $\Delta OPQ$ 為正三角形，故 $\angle POQ = 60^\circ$： $$\cos\angle POQ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$$