若直線 $y = ax$ 與 $y = \ln x$ 有交點，則方程組： $$\begin{cases} y = ax \\ y = \ln x \end{cases}$$ 有實數解，即 $ax = \ln x$ 在 $x > 0$ 有解。經移項可得： $$a = \dfrac{\ln x}{x}$$ 若要尋找 $a$ 的最大可能值，等價於求函數 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ 在 $x > 0$ 的最大值。 求 $f(x)$ 的一階導函數： $$f'(x) = \dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$$ 令 $f'(x) = 0$，解得 $1 - \ln x = 0 \implies x = e$。 利用一階檢驗法分析單調性： - 當 $0 < x < e$ 時，$f'(x) > 0$，函數 $f(x)$ 單調遞增； - 當 $x > e$ 時，$f'(x) < 0$，函數 $f(x)$ 單調遞減。 故在 $x = e$ 處，函數取得最大值： $$f(e) = \dfrac{\ln e}{e} = \dfrac{1}{e}$$ 因此，$a$ 的最大可能值為 $\dfrac{1}{e}$。