由 $f(-1) = -3$，$f(3) = -1$，且判別式 $b^2 - 4ac < 0$，可知 $y = f(x)$ 的圖形通過 $(-1,-3)$ 和 $(3,-1)$，且與 $x$ 軸沒有交點。 1. **判斷開口方向**： 因為拋物線與 $x$ 軸沒有交點，且通過 $y < 0$ 的點（如 $(-1,-3)$），故拋物線必完全在 $x$ 軸下方，開口朝下，得： $$a < 0$$ 故選項 $(1)$ 恆成立。 2. **判斷 $c$ 的正負**： $f(0) = c$ 為拋物線與 $y$ 軸的交點。因為拋物線完全在 $x$ 軸下方，故其 $y$ 截距必為負值，即： $$c < 0$$ 故選項 $(2)$ 恆成立。 3. **分析對稱軸與函數值的關係**： 拋物線的對稱軸為 $x = -\dfrac{b}{2a}$。 因為 $f(-1) = -3 < f(3) = -1$，且開口朝下，代表對稱軸 $x$ 必大於二點的中點，即對稱軸： $$x_0 > \dfrac{-1+3}{2} = 1$$ - **若對稱軸範圍介於 $1 < x_0 < 3$**： 函數在 $x < x_0$ 遞增，在 $x > x_0$ 遞減。 - 對於 $f(0)$ 與 $f(1)$，因為 $0 < 1 < x_0$，故 $f(0) < f(1)$ 成立。 - 對於 $f(-3)$ 與 $f(-2)$，因為 $-3 < -2 < x_0$，故 $f(-3) < f(-2)$ 成立。 - 對於 $f(4)$ 與 $f(5)$，因為 $x_0 < 3 < 4 < 5$，在遞減區間，故 $f(4) > f(5)$，選項 $(4)$ 不成立。 - **若對稱軸範圍 $x_0 > 3$**： - 對於 $f(0)$ 與 $f(1)$，因為 $0 < 1 < x_0$，故 $f(0) < f(1)$ 成立。 - 對於 $f(-3)$ 與 $f(-2)$，因為 $-3 < -2 < x_0$，故 $f(-3) < f(-2)$ 成立。 綜上分析，$a<0$、$c<0$、$f(0)