要唯一求出橢圓的方程式，必須能確定橢圓的**中心坐標**、**主軸方向（對稱軸方向）**、**長軸長 $a$** 及 **短軸長 $b$**。 - **選項 $(1)$ 成立**： 已知四個頂點的坐標，其兩對角頂點的中點即為中心坐標，兩軸的連線方向為橢圓的對稱軸方向，且長軸長與短軸長亦可直接由頂點間的距離求出，故可求得橢圓方程式。 - **選項 $(2)$ 成立**： 已知兩焦點 $F_1, F_2$ 及橢圓上一點 $P$。 - 兩焦點的中點為中心。 - 兩焦點的連線方向即為主軸方向。 - 依橢圓定義，$\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a$，可求得長軸長 $a$。 - 兩焦點間距離 $\overline{F_1F_2} = 2c$，可求得 $c$。 - 利用關係式 $b^2 = a^2 - c^2$ 可求得短軸長 $b$。 因此所有要素皆已知，可求得橢圓方程式。 - **選項 $(3)$ 不成立**： 僅知長短軸長度，無法確定橢圓中心位置與主軸方向，故無法求得方程式。 - **選項 $(4)$ 成立**： 已知兩焦點及長軸長度 $2a$。 - 由兩焦點可求得中心及主軸方向，且焦點距離 $2c$ 已知。 - 長軸長度 $2a$ 已知，可得 $a$。 - 由 $b^2 = a^2 - c^2$ 可求得 $b$。 因此所有要素皆已知，可求得橢圓方程式。 - **選項 $(5)$ 不成立**： 僅知中心坐標及長短軸比例，但無法確定實際大小 $a, b$ 與主軸方向，故無法求得方程式。 綜上所述，可求得方程式的選項為 $(1)(2)(4)$。