設伽利略出生年為西元 $Y$ 年，發明望遠鏡時為 $x$ 歲。 1. **推算過世年與出生年**： - 伽利略於西元 $1632$ 年出版《對話錄》，由「出版《對話錄》一書到過世是伽利略人生中最灰暗的 $10$ 年」可知，過世年份為： $$1632 + 10 = 1642\text{ 年}$$ 故選項 $(5)$ 於西元 $1644$ 年過世錯誤。 - 因為享年 $78$ 歲，所以其出生年份為： $$1642 - 78 = 1564\text{ 年}$$ 故選項 $(1)$ 出生於西元 $1566$ 年錯誤。 2. **推算出版《對話錄》時的年紀**： - 出版《對話錄》時的年紀為： $$1632 - 1564 = 68\text{ 歲}$$ 故選項 $(4)$ 在 $68$ 歲時出版《對話錄》正確。 3. **推算發明望遠鏡與發現衛星的年紀**： - 設發明望遠鏡時的年紀為 $x$ 歲，則「次年發現衛星」時的年紀為 $x + 1$ 歲。 - 依題意，「發明望遠鏡到出版《對話錄》之時間長度，剛好是發現衛星時年紀的一半」，可列式為： $$68 - x = \dfrac{x + 1}{2}$$ $$136 - 2x = x + 1 \implies 3x = 135 \implies x = 45\text{ 歲}$$ 即在 $45$ 歲時發明 $10$ 倍率的望遠鏡，故選項 $(2)$ 正確。 4. **推算發現衛星的年份**： - 發現衛星時的年紀為 $45 + 1 = 46$ 歲，此時的西元年份為： $$1564 + 46 = 1610\text{ 年}$$ 故選項 $(3)$ 在西元 $1610$ 年發現歐羅巴衛星正確。 綜上所述，正確的敘述為 $(2)(3)(4)$。