在 $\triangle AOC$ 中，對應正五邊形的兩個邊弧，故其中心角為： $$\angle AOC = \dfrac{2}{5} \times 360^\circ = 144^\circ$$ 設圓 $O$ 的半徑為 $\overline{OA} = \overline{OC} = r$，已知 $\overline{AC} = 1$。 因為 $\triangle AOC$ 為等腰三角形，所以： $$\angle OCA = \angle OAC = \dfrac{180^\circ - 144^\circ}{2} = 18^\circ$$ 由正弦定理得： $$\dfrac{r}{\sin \angle OCA} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin \angle AOC} \implies \dfrac{r}{\sin 18^\circ} = \dfrac{1}{\sin 144^\circ}$$ 因為 $\sin 144^\circ = \sin (180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$，所以： $$r = \dfrac{\sin 18^\circ}{\sin 36^\circ} = \dfrac{\sin 18^\circ}{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ} = \dfrac{1}{2 \cos 18^\circ}$$ 將 $\cos 18^\circ = \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ 代入，得： $$r = \dfrac{1}{2 \times \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$$ 將分母有理化： $$r = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{100 - 20}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{\sqrt{80}} = \dfrac{2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5}}$$ $$r = \dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{10} = \dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}$$ 故圓 $O$ 的半徑長為 $\dfrac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}$。