91 指考數學乙第 4 題

Question

設一橢圓方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > 0$，$b > 0$，$F$ 為它的一個焦點。已知此橢圓在 $x$ 軸上的兩個頂點與 $F$ 的距離分別為 $5$ 單位及 $1$ 單位，如圖 B 所示。則 $(a, b) = (\underline{　　　}, \sqrt{\underline{　　　}})$。

Accepted Answer

答案：$(3, \sqrt{5})$
設焦點 $F$ 的坐標為 $(c, 0)$，其中 $c > 0$。橢圓在 $x$ 軸上的兩個長軸頂點分別為 $(-a, 0)$ 與 $(a, 0)$。

根據題意，這兩個頂點到焦點 $F(c, 0)$ 的距離分別為 $5$ 與 $1$：
$$a + c = 5$$
$$a - c = 1$$

兩式相加可得：
$$2a = 6 \implies a = 3$$

兩式相減可得：
$$2c = 4 \implies c = 2$$

由橢圓的不變性質 $a^2 = b^2 + c^2$（其中 $a > b$），可得：
$$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 =…