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092_07A_q06
92 指考數學甲 第 6 題
📅 92 年 📝 指考數學甲 第 6 題 題型：多選 課綱：99課綱
在一個牽涉到兩個未知量 $x,y$ 的線性規劃作業中，有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數 $ax+by$（$a,b$ 是常數）在此三角形的一個頂點 $(19,12)$ 上取得最大值 $31$，而在另一個頂點 $(13,10)$ 取得最小值 $23$。現因業務需要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域，頂點少了 $(19,12)$，新增了 $(17,13)$ 和 $(16,11)$。在這四個限制條件下，請選出正確的選項。
  1. $ax+by$ 的最大值發生在 $(17,13)$
  2. $ax+by$ 的最小值發生在 $(16,11)$
  3. $ax+by$ 的最大值是 $30$
  4. $ax+by$ 的最小值是 $27$
線性規劃頂點法圓與直線
解題手法設未知數〔AI 推測〕
答案

$(1)(3)$

詳解
由 $19a+12b=31$、$13a+10b=23$ 解得 $a=1,\,b=1$，故目標函數為 $x+y$。 新四邊形各頂點之值：$(13,10)\to 23$，$(17,13)\to 30$，$(16,11)\to 27$，另含原三角形第三頂點 $V$（其值介於 $23$ 與 $31$）。注意 $(16,11)$ 為邊 $(19,12)$–$(13,10)$ 的中點，$(17,13)$ 在邊 $(19,12)$–$V$ 上；沿此邊 $x+y$ 由 $31$ 線性下降並經過 $30$，故 $V$ 之值 $<30$。 因此最大值 $=30$ 發生於 $(17,13)$，最小值 $=23$ 仍在 $(13,10)$。 (1) **對**；(3) **對**；(2) 最小值在 $(13,10)$，**錯**；(4) 最小值是 $23$，**錯**。 故選 $(1)(3)$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。

來源：92年指考數學甲 · 題號 6 · schema 1.0.0

建置時間：2026-06-27 16:14