93 指考數學甲第 8 題

Question

將 $	an x = x$ 的所有正實根由小到大排列，得一無窮數列 $x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots$，則 $\displaystyle\lim_{n	o\infty}(x_{n+1}-x_n)=\underline{\hspace{3em}}$（四捨五入到小數第二位）。

Accepted Answer

答案：$\pi\approx 3.14$
$	an x = x$ 的正實根 $x_n$ 分別落在區間 $\left((n-\frac{1}{2})\pi,\,(n+\frac{1}{2})\piight)$（$n=1,2,\ldots$）中各一個。

當 $n	o\infty$ 時，$x_n	o\infty$ 且在各區間內 $	an x-x=0$ 的根趨近於區間右端（即 $x_n\approx n\pi$ 精確地趨近的方式），故
$$\lim_{n	o\infty}(x_{n+1}-x_n)=\pi\approx 3.14$$

四捨五入到小數第二位：$\pi\approx 3.14$。