已知複數 $z = 1-i$，我們要求等比級數之和： $$S = 1 + z + z^2 + \cdots + z^9$$ 此為首項為 $1$，公比為 $z$，項數為 $10$ 的等比級數，由等比求和公式： $$S = \dfrac{1 - z^{10}}{1 - z}$$ 我們將 $z = 1-i$ 寫成極式： $$z = \sqrt{2} \left[ \cos(-45^\circ) + i\sin(-45^\circ) \right]$$ 利用棣美弗定理計算 $z^{10}$： $$z^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left[ \cos(-450^\circ) + i\sin(-450^\circ) \right]$$ 因為 $-450^\circ = -360^\circ - 90^\circ \equiv -90^\circ$，所以： $$z^{10} = 32 \left[ \cos(-90^\circ) + i\sin(-90^\circ) \right] = 32(0 - i) = -32i$$ 代入求和公式： $$S = \dfrac{1 - (-32i)}{1 - (1 - i)} = \dfrac{1 + 32i}{i}$$ 將分子分母同除以 $i$（相當於同乘以 $-i$）： $$S = \dfrac{(1+32i)(-i)}{1} = -i - 32i^2 = 32 - i$$ 因此，$a + bi = 32 - i$。 對照實部與虛部，得： $$a = 32,\text{ } b = -1$$