給定兩種菌數的遞迴關係： $$\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n + 2b_n \\ b_{n+1} = 2b_n \end{cases}$$ 寫成一階差分矩陣形式： $$\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix}$$ 令一步轉移矩陣 $T = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$。 因此三步遞推關係的轉移方陣 $A$ 為 $T^3$。計算 $T^3$： $$T^2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$ $$T^3 = T^2 T = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 24 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$$ 由 $\begin{bmatrix} a_{n+3} \\ b_{n+3} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix}$，對應得 $A = T^3 = \begin{bmatrix} 8 & 24 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$。 因此： $$a = 8,\ b = 24,\ c = 0,\ d = 8$$ 答為 $a=8$、$b=24$、$c=0$、$d=8$。