設 $\Delta ABC$ 的三邊長分別為 $a, b, c$，面積為 $\Delta$。 已知三高分別為 $h_a = 6$、$h_b = 4$、$h_c = 3$。 由三角形面積公式可知： $$\Delta = \dfrac{1}{2} a h_a = \dfrac{1}{2} b h_b = \dfrac{1}{2} c h_c$$ 因此邊長可表示為： $$a = \dfrac{2\Delta}{6} = \dfrac{\Delta}{3}, \ b = \dfrac{2\Delta}{4} = \dfrac{\Delta}{2}, \ c = \dfrac{2\Delta}{3} = \dfrac{2\Delta}{3}$$ 三邊之比例關係為： $$a : b : c = \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{2} : \dfrac{2}{3} = 2 : 3 : 4$$ (1) **證明 $\Delta ABC$ 是一鈍角三角形**： 設三邊長分別為 $a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$（其中 $k > 0$）。 最長邊為 $c = 4k$，故最大角必為 $\angle C$。 根據餘弦定理計算 $\cos C$： $$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{(2k)^2 + (3k)^2 - (4k)^2}{2(2k)(3k)} = \dfrac{4 + 9 - 16}{12} = -\dfrac{3}{12} = -\dfrac{1}{4}$$ 開為 $\cos C = -\dfrac{1}{4} < 0$，所以 $\angle C$ 為鈍角（即 $90^\circ < C < 180^\circ$）。 故 $\Delta ABC$ 為鈍角三角形。得證。 (2) **計算 $\Delta ABC$ 的面積**： 由海倫公式，三角形的半周長 $s$ 為： $$s = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{2k + 3k + 4k}{2} = \dfrac{9}{2}k$$ 面積為： $$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\dfrac{9}{2}k \left(\dfrac{9}{2}k - 2k\right) \left(\dfrac{9}{2}k - 3k\right) \left(\dfrac{9}{2}k - 4k\right)}$$ $$\Delta = \sqrt{\dfrac{9}{2}k \cdot \dfrac{5}{2}k \cdot \dfrac{3}{2}k \cdot \dfrac{1}{2}k} = \sqrt{\dfrac{135}{16}} k^2 = \dfrac{3\sqrt{15}}{4} k^2$$ 又因為邊長 $a = 2k = \dfrac{\Delta}{3} \implies k = \dfrac{\Delta}{6}$。 將其代回面積公式： $$\Delta = \dfrac{3\sqrt{15}}{4} \left(\dfrac{\Delta}{6}\right)^2 = \dfrac{3\sqrt{15}}{4} \cdot \dfrac{\Delta^2}{36} = \dfrac{\sqrt{15}}{48} \Delta^2$$ 因為 $\Delta > 0$，等式兩邊同除以 $\Delta$ 得： $$1 = \dfrac{\sqrt{15}}{48} \Delta \implies \Delta = \dfrac{48}{\sqrt{15}} = \dfrac{16\sqrt{15}}{5}$$ 故三角形 $\Delta ABC$ 的面積為 $\dfrac{16\sqrt{15}}{5}$。