根據題意，當正面出現 $k$ 次時，獲得的累積獎金為級數和： $1 + 2 + 3 + \dots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ 元。 我們來分析各選項： - **選項 (1)**：錯誤。正面出現 $k$ 次的獎金為 $\dfrac{1}{2}k(k+1)$ 元，而非 $\dfrac{1}{2}k(k-1)$ 元。 - **選項 (2)**：正確。第二次丟擲之後，累計獎金為 $1$ 元，代表前兩次丟擲中恰好出現 $1$ 次正面（即「正反」或「反正」）。其機率為： $P(\text{正反}) + P(\text{反正}) = p(1-p) + (1-p)p = 2p(1-p) = 2(p - p^2)$。 - **選項 (3)**：錯誤。由於獎金數額只能是 $\dfrac{k(k+1)}{2}$ 元（即 $0, 1, 3, 6, 10, \dots$ 元），不可能剛好得到 $2$ 元，因此總共得到獎金 $2$ 元的機率恆為 $0$，而非該式。 - **選項 (4)**：正確。要得到獎金 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 元，必須滿足： $\dfrac{k(k+1)}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2} \implies k = n-1$ （因 $k \ge 0$）， 即丟擲 $n$ 次中恰好出現 $n-1$ 次正面（與 $1$ 次反面）。其機率為： $C^{n}_{n-1} p^{n-1} (1-p)^1 = n p^{n-1} (1-p) = n(p^{n-1} - p^n)$。 綜上所述，正確選項為 $(2)(4)$。