我們逐項檢驗遞迴數列的性質： $(1)$ 將 $n=1$ 代入遞迴式得到： $$a_2 = \dfrac{1(2)}{2} - a_1 = 1 - a_1$$ 若 $a_1 = 1$，則 $a_2 = 1 - 1 = 0 \neq 1$，選項 $(1)$ 錯誤。 $(2)$ 對於任意正整數 $n$，連續兩整數相乘 $n(n+1)$ 必定是偶數，因此 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 恆為整數。 若 $a_1$ 是整數，則 $a_2 = 1 - a_1$ 也是整數；依此類推，利用數學歸納法可知數列中的每一項都是整數，選項 $(2)$ 正確。 $(3)$ 由於 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 恆為有理數，而有理數減去無理數依然為無理數。 若 $a_1$ 是無理數，則 $a_2 = 1 - a_1$ 必為無理數；依此類推，由數學歸納法可知每一項都是無理數，選項 $(3)$ 正確。 $(4)$ 考慮兩步的遞迴關係： $$a_{n+2} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} - a_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} - \left(\dfrac{n(n+1)}{2} - a_n\right)$$ $$= \dfrac{n+1}{2} \left( (n+2) - n \right) + a_n = n + 1 + a_n$$ 即 $a_{n+2} - a_n = n + 1$。 因為對所有正整數 $n \ge 1$ 均有 $n+1 > 0$，所以 $a_{n+2} > a_n$。 這表示偶數項滿足： $$a_2 < a_4 < a_6 < \dots < a_{2n} < \dots$$ 因此 $a_2 \le a_4 \le \dots \le a_{2n} \le \dots$ 成立（嚴格不等式成立，則包含等號的弱不等式自然成立），選項 $(4)$ 正確。 $(5)$ 由 $(4)$ 的結論，我們有 $a_{k+2} = a_k + (k+1)$。 如果 $a_k$ 是奇數，且當 $k$ 是偶數時，則 $k+1$ 是奇數。此時： $$a_{k+2} = a_k + (k+1) = \text{奇數} + \text{奇數} = \text{偶數}$$ 這表示 $a_{k+2}$ 可能為偶數，並不一定都是奇數，選項 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確的選項為 $(2)(3)(4)$。