根據實係數多項式的「虛根共軛定理」，若虛數 $\alpha$ 是實係數多項式方程式 $f(x) = 0$ 的根，則其共軛複數 $\bar{\alpha}$ 也必為其根。 已知方程式 $f(x) = 0$ 有根 $3 - 2i$、$i$ 及實根 $5$。因此： - 由根 $3 - 2i$ 可知，其共軛複數 $3 + 2i$ 亦為根。 - 由根 $i$ 可知，其共軛複數 $-i$ 亦為根。 要求最低次數且首項係數為 $1$ 的實係數多項式 $f(x)$，其必須包含上述五個根對應的因式： $$f(x) = (x - 5)(x - i)(x + i)\left[ x - (3 - 2i) \right]\left[ x - (3 + 2i) \right]$$ 我們進行因式整理： - $(x - i)(x + i) = x^2 - i^2 = x^2 + 1$ - $\left[ (x - 3) + 2i \right]\left[ (x - 3) - 2i \right] = (x - 3)^2 - (2i)^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$ 因此： $$f(x) = (x - 5)(x^2 + 1)(x^2 - 6x + 13)$$ $f(x)$ 的常數項即為 $f(0)$： $$\text{常數項} = f(0) = (0 - 5)(0^2 + 1)(0^2 - 6(0) + 13) = (-5) \times (1) \times (13) = -65$$ 故填 $-65$。