二、某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金，其中每單位的甲合金是由 $5$ 公克的 $A$ 金屬、$3$ 公克的 $B$ 金屬以及 $3$ 公克的 $C$ 金屬組成，而每單位的乙合金是由 $3$ 公克的 $A$ 金屬、$6$ 公克的 $B$ 金屬與 $3$ 公克的 $C$ 金屬所組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為 $600$、$700$ 元。若工廠此次進了 $1000$ 公克的 $A$ 金屬、$1020$ 公克的 $B$ 金屬與 $660$ 公克的 $C$ 金屬投入生產這兩種合金，試問甲、乙兩種合金各應生產多少單位，才能獲得最大利潤？又此時利潤為多少？（$12$ 分）
詳解
設工廠生產甲合金 $x$ 單位、乙合金 $y$ 單位。由題意建立限制條件如下：
- 貴金屬 $A$ 的上限：$5x + 3y \le 1000$
- 貴金屬 $B$ 的上限：$3x + 6y \le 1020 \implies x + 2y \le 340$
- 貴金屬 $C$ 的上限：$3x + 3y \le 660 \implies x + y \le 220$
- 非負限制：$x \ge 0$，$y \ge 0$
目標函數為總獲利：
$$f(x, y) = 600x + 700y$$
求可行解區域之各頂點交點：
1. 兩軸截距與原點：$(0,0)$、$(200,0)$、$(0,170)$。
2. 直線 $x+y=220$ 與 $5x+3y=1000$ 的交點：
代入消去法得 $2x = 340 \implies x = 170$，$y = 50$，交點為 $(170, 50)$。
3. 直線 $x+y=220$ 與 $x+2y=340$ 的交點：
相減得 $y = 120$，$x = 100$，交點為 $(100, 120)$。
4. 直線 $5x+3y=1000$ 與 $x+2y=340$ 的交點在可行解區域外（$(140, 100)$，此時不滿足 $x+y \le 220$）。
將可行解區域之頂點代入目標函數 $f(x,y) = 600x + 700y$ 進行比較：
- $f(0,0) = 0$
- $f(200,0) = 600(200) + 700(0) = 120,000$ 元
- $f(170,50) = 600(170) + 700(50) = 102,000 + 35,000 = 137,000$ 元
- $f(100,120) = 600(100) + 700(120) = 60,000 + 84,000 = 144,000$ 元
- $f(0,170) = 600(0) + 700(170) = 119,000$ 元
經比較，當生產甲合金 $100$ 單位、乙合金 $120$ 單位時，可得最大利潤為 $144,000$ 元。