104 指考數學甲第 13 題

Question

設無窮數列 $a_n$ 符合 $a_0=0$ 且當 $n\ge 1$ 時，$a_n-a_{n-1}=\left\{\matrix{(\dfrac{1}{5})^n, & 	ext{當 } n 	ext{ 為偶數，}\ (\dfrac{1}{5})^n-(\dfrac{1}{3})^n, & 	ext{當 } n 	ext{ 為奇數。}}ight.$
(1) 將 $a_6$ 寫成兩個等比級數的差，其中一個有 $6$ 項，另一個有 $3$ 項。（$2$ 分）
(2) 求 $\displaystyle\lim_{n 	o \infty}a_{2n}$ 的值。（$3$ 分）
(3) 證明：當 $n\ge 0$ 時 $a_{2n+2}-a_{2n}<0$。並依此說明對於所有正整數 $n$，不等式 $-\dfrac{1}{8}\le a_{2n}<0$ 恆成立。（$8$ 分）

Accepted Answer

答案：(1) $\sum_{k=1}^{6}(\dfrac{1}{5})^k-(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^5})$；(2) $-\dfrac{1}{8}…
(1) $a_6=\sum_{k=1}^{6}(\dfrac{1}{5})^k-(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^5})$。 (2) $\lim\limits_{n 	o \infty}a_{2n}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{8}=-\dfrac{1}{8}$。 (3) $a_{2n+2}-a_{2n}=\dfrac{6}{5^{2n+2}}-\dfrac{1}{3^{2n+1}}<0$，故偶數項遞減且極限為 $-\dfrac{1}{8}$，所以 $-\dfrac{1}{8}\le a_{2n}<0$。