1. 設標準橢圓方程式為 $$\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$，其中 $a > b > 0$。兩焦點為 $F_1(c, 0)$ 與 $F_2(-c, 0)$，滿足 $$c^2 = a^2 - b^2$$。 2. 過焦點且垂直長軸（$x$ 軸）的直線方程式為 $x = \pm c$。將 $x = c$ 代入橢圓方程式： $$\dfrac{c^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \implies \dfrac{y^2}{b^2} = 1 - \dfrac{c^2}{a^2} = \dfrac{a^2-c^2}{a^2} = \dfrac{b^2}{a^2} \implies y = \pm \dfrac{b^2}{a}$$。 因此，四個交點為：$$(c, b^2/a), (c, -b^2/a), (-c, b^2/a), (-c, -b^2/a)$$。 3. 這四個點所構成的矩形： - 水平邊長為 $2c$ - 垂直邊長為 $$2 \cdot \dfrac{b^2}{a}$$。 已知此四點連線構成一個邊長為 $2$ 的正方形，故： - $$2c = 2 \implies c = 1$$ - $$2 \cdot \dfrac{b^2}{a} = 2 \implies \dfrac{b^2}{a} = 1 \implies b^2 = a$$。 4. 將 $c = 1$ 且 $b^2 = a$ 代入關係式 $$c^2 = a^2 - b^2$$： $$1^2 = a^2 - a \implies a^2 - a - 1 = 0$$。 由求根公式解得 $$a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$$（負根不合，因 $a > 0$）。 5. 我們要計算橢圓的長軸長為 $2a$： $$\text{長軸長} = 2a = 2 \cdot \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5}$$。 這符合 $$\text{\textcircled{18}} + \sqrt{\text{\textcircled{19}}}$$ 形式，對應 $1 + \sqrt{5}$。