在區域 $T_n$ 內，由於 $x \ge 0$，而直線為 $y = \dfrac{-1}{2n}x + 3 \implies x = 2n(3 - y)$。 因 $x \ge 0 \implies 3 - y \ge 0 \implies y \le 3$，故整數 $y$ 的範圍為 $0 \le y \le 3$，即 $y \in \{0, 1, 2, 3\}$。 對於每個固定的整數 $y$，整數 $x$ 滿足 $0 \le x \le 2n(3 - y)$。 此範圍內整數 $x$ 的個數為 $2n(3 - y) + 1$ 個。 將所有可能的整數 $y$ 對應的個數相加，得到總格子點數 $a_n$： $$a_n = \sum_{y=0}^{3} [2n(3 - y) + 1]$$ $$a_n = [2n(3) + 1] + [2n(2) + 1] + [2n(1) + 1] + [2n(0) + 1]$$ $$a_n = (6n + 1) + (4n + 1) + (2n + 1) + 1 = 12n + 4$$ 我們要求極限 $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n}$： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{12n + 4}{n} = 12$$ 故填 $12$。