設出現 $k$ 點的機率為 $P(k)$，其中 $\sum_{k=1}^6 P(k) = 1$。 根據題意，我們已知： * $P(1) + P(3) = 0.2$ * $P(2) + P(4) = 0.4$ * $P(5) + P(6) = 0.4$ 我們來逐一分析選項： * 選項 $(1)$：錯誤。已知 $P(1) + P(3) = 0.2$，無法單獨確定 $P(1) = 0.1$。 * 選項 $(2)$：錯誤。無法單獨確定 $P(4)$ 與 $P(3)$ 的大小。 * 選項 $(3)$：錯誤。出現偶數點的機率為 $P(2) + P(4) + P(6) = 0.4 + P(6)$。因為 $0 \le P(6) \le 0.4$，所以偶數點機率在 $[0.4, 0.8]$ 之間，不一定為 $0.5$。 * 選項 $(4)$：錯誤。出現奇數點的機率為 $P(1) + P(3) + P(5) = 0.2 + P(5)$。因為 $0 \le P(5) \le 0.4$，所以奇數點機率在 $[0.2, 0.6]$ 之間，可能大於、等於或小於 $0.5$。 * 選項 $(5)$：正確。投擲點數的期望值為： $$E = 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3) + 4 \cdot P(4) + 5 \cdot P(5) + 6 \cdot P(6)$$ 我們將此式重新分組整理： $$E = 1 \cdot (P(1) + P(3)) + 2 \cdot (P(2) + P(4)) + 5 \cdot (P(5) + P(6)) + 2 \cdot P(3) + 2 \cdot P(4) + P(6)$$ 代入已知條件： $$E = 1 \cdot (0.2) + 2 \cdot (0.4) + 5 \cdot (0.4) + 2 \cdot P(3) + 2 \cdot P(4) + P(6)$$ $$E = 0.2 + 0.8 + 2.0 + 2 \cdot P(3) + 2 \cdot P(4) + P(6) = 3 + 2 \cdot P(3) + 2 \cdot P(4) + P(6)$$ 因為所有機率值皆非負（$P(3) \ge 0$, $P(4) \ge 0$, $P(6) \ge 0$），所以： $$2 \cdot P(3) + 2 \cdot P(4) + P(6) \ge 0$$ 因此，期望值 $E \ge 3$。 故選 $(5)$。