107 指考數學乙第 4 題

Question

已知數列 $\langle a_n \rangle, \langle b_n \rangle, \langle c_n \rangle, \langle d_n \rangle, \langle e_n \rangle$ 定義如下：
$a_n = (-1)^n$； $b_n = a_n + a_{n+1}$； $c_n = \left( \dfrac{-\sqrt{10}}{3} \right)^n$； $d_n = \dfrac{1}{3^n} c_n$； $e_n = \dfrac{1}{c_n}$； 其中 $n = 1, 2, 3, \dots$。
下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。

Accepted Answer

答案：$(2)(4)(5)$
無窮級數收斂判定：
$(1)$ $a_n = (-1)^n$，級數為 $-1+1-1+1\dots$，部分和在 $-1$ 與 $0$ 震盪，發散。
$(2)$ $b_n = a_n + a_{n+1} = (-1)^n + (-1)^{n+1} = (-1)^n - (-1)^n = 0$，級數為 $0+0+0\dots$，收斂於 $0$。
$(3)$ $c_n = \left( \dfrac{-\sqrt{10}}{3} \right)^n$，公比 $r = \dfrac{-\sqrt{10}}{3}$。因 $|r| = \dfrac{\sqrt{10}}{3} \approx \dfrac…