設圓心為 $C(0, k)$，其中 $k > 0$。圓心到 $x$ 軸的距離為 $k$。 直線 $L: mx - y = 0$。圓與 $L$ 相切，半徑 $R$ 為圓心到 $L$ 的距離： $R = \frac{|m \cdot 0 - k|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{k}{\sqrt{m^2 + 1}}$ 設切點為 $P(x_0, y_0)$。已知 $\frac{k}{y_0} = 5$，故 $y_0 = \frac{k}{5}$。 切點 $P$ 在直線 $y = mx$ 上，故 $x_0 = \frac{y_0}{m} = \frac{k}{5m}$。 又向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{CP}$ 必垂直於直線 $L$，而直線 $L$ 的方向向量為 $(1, m)$，故 $\overset{\large\rightharpoonup}{CP} = (x_0 - 0, y_0 - k) = (\frac{k}{5m}, -\frac{4k}{5})$ 需與 $(1, m)$ 的內積為 $0$： $\frac{k}{5m} \cdot 1 + (-\frac{4k}{5}) \cdot m = 0$ $\frac{1}{5m} = \frac{4m}{5} \implies 4m^2 = 1 \implies m^2 = \frac{1}{4}$ 因 $m > 0$，故 $m = \frac{1}{2}$。 故填 $\frac{1}{2}$。