115 分科測驗數學甲第 2 題

Question

已知 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 為首項為 $1$、公比為 $r$ 的無窮等比數列（其中 $r$ 為非零實數），且知兩無窮等比級數 $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ 與 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$ 皆收斂且其乘積為 $1$。試選出正確的 $r$ 值。

Accepted Answer

答案：$(4)$
兩無窮等比級數收斂值分別為 $\dfrac{1}{1-r}$ 與 $\dfrac{1}{1-r^2}$，乘積為 $1$ 得到 $(1-r)(1-r^2) = 1 \implies r^3 - r^2 - r = 0$。因 $r 
eq 0$，得 $r^2 - r - 1 = 0$，解得 $r = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ (另一解不滿足收斂條件 $|r| < 1$)，故選 $(4)$。