115 分科測驗數學甲第 3 題

Question

對任意實數 $x$，試選出函數 $f(x)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。

Accepted Answer

答案：$(3)$
展開 $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x$，所以
$$f(x)=\dfrac{3}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$
因此最大值為
$$\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{3},$$
故選 $(3)$。