$(1)$ 條件機率公式為 $P(2\mid \text{not }1)=\dfrac{p_2}{1-p_1}$，對。 $(2)$ 期望值 $E=p_1+2p_2+3p_3=2+(p_3-p_1)$，對。 $(3)$ 若 $n_1,n_2,n_3$ 為等差，除以同一總數後 $p_1,p_2,p_3$ 仍為等差，對。 $(4)$ 若 $n_1,n_2,n_3$ 為正等比，可設為 $c,cr,cr^2$，則 $p_2=\dfrac{r}{1+r+r^2}=\dfrac{1}{r+1/r+1}\le \dfrac{1}{3}$，故題目寫 $p_2\ge \dfrac{1}{3}$ 不一定成立，錯。 $(5)$ $p_k<\dfrac{1}{2}$ 等價於每一個 $n_k$ 小於另外兩個的和，可構成三角形三邊，對。 故選 $(1)(2)(3)(5)$。