將 $z$ 分母實數化： $$z=\dfrac{(a-2i)(1-2i)}{5}=\dfrac{(a-4)-(2a+2)i}{5}.$$ $(1)$ 實部為 $\dfrac{a-4}{5}$，對。 $(2)$ $z$ 為實數時需 $2a+2=0$，故 $a=-1$，錯。 $(3)$ $|z|^2=\dfrac{a^2+4}{5}\ge \dfrac{4}{5}$，對。 $(4)$ $a=0$ 時 $z=\dfrac{-4-2i}{5}$，在第三象限；依本題主輻角採 $[0,2\pi)$ 的判讀，主輻角大於 $\pi$，對。 $(5)$ 第一象限需 $a-4>0$ 且 $-(2a+2)>0$，即 $a>4$ 且 $a<-1$，無解，對。 故選 $(1)(3)(4)(5)$。