115 分科測驗數學甲 第 6 題
📅 115 年 📝 分科測驗數學甲 第 6 題 題型:多選 課綱:108課綱
對於實係數多項式 $f(x)$,將閉區間 $[a,b]$ 分割成三等分段,取每個分段左端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $M_a^b(f)$, 即 $M_a^b(f)=\dfrac{b-a}{3}\left[f(a)+f\left(a+\dfrac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\dfrac{2(b-a)}{3}\right)\right]$; 取每個分段右端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $N_a^b(f)$, 即 $N_a^b(f)=\dfrac{b-a}{3}\left[f\left(a+\dfrac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\dfrac{2(b-a)}{3}\right)+f(b)\right]$。 若已知 $f(x)$ 及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負,如下表所示。試選出正確的選項。
一階與二階導函數正負表
一階與二階導函數正負表
  1. 在開區間 $(4,5)$ 上,函數 $y = f(x)$ 遞增且圖形凹口向上
  2. 在閉區間 $[5,6]$ 上,函數 $y = f(x)$ 的圖形有反曲點
  3. $\int_2^3 f(x) \, dx < M_2^3(f)$
  4. $\int_4^5 f(x) \, dx > N_4^5(f)$
  5. $\int_6^7 f(x) \, dx > \dfrac{1}{2} \left( M_6^7(f) + N_6^7(f) \right)$
導數與函數圖形、黎曼和與定積分微積分微積分
答案

$(2)(3)$

多選題

詳解
$(1)$ 在 $(4,5)$ 上,$f'(x) > 0$ 且 $f''(x) < 0$,故遞增且凹口向下,錯。 $(2)$ 在 $(4,5)$ 凹口向下,在 $(6,7)$ 凹口向上,故在 $[5,6]$ 上必有反曲點,對。 $(3)$ 在 $[2,3]$ 上,$f'(x) < 0$ (遞減) 且 $f''(x) < 0$ (凹口向下),因為遞減,左端點大於右端點,左和 $M$ 大於定積分,對。 $(4)$ 在 $[4,5]$ 上,$f'(x) > 0$ (遞增) 且 $f''(x) < 0$ (凹口向下),因為遞增,右端點大於左端點,右和 $N$ 大於定積分,錯。 $(5)$ 在 $[6,7]$ 上,$f''(x) > 0$ (凹口向上),梯形面積平均值 $\dfrac{M+N}{2}$ 大於定積分,錯。 故選 $(2)(3)$。

題目來源:本題非大考試題,無官方考卷來源。

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