設圓心為 $(h,0)$，半徑為 $r$，其中 $D_1 = \dfrac{4|h|}{5} > r$ 且 $D_2 = \dfrac{3|h|}{5} > r$。 最短距離 $d_1 = \dfrac{4|h|}{5} - r$，$d_2 = \dfrac{3|h|}{5} - r$。 已知 $d_1 = 3d_2 \implies \dfrac{4|h|}{5} - r = 3\left(\dfrac{3|h|}{5} - r\right) \implies |h| = 2r$。 切線過原點且斜率為 $k$，方程式為 $kx - y = 0$。圓心到切線距離為 $r \implies \dfrac{|kh|}{\sqrt{k^2+1}} = r$。 代入 $|h| = 2r \implies \dfrac{2r|k|}{\sqrt{k^2+1}} = r \implies 4k^2 = k^2 + 1 \implies k = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。 故填 $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。