第一階段點數大於 $4$ 點(即 $5, 6$ 點)的機率為 $\dfrac{1}{3}$，進入條件為 $X = 3, 4, 5$。 $$P(X=3) = \binom{5}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{40}{243}$$ $$P(X=4) = \binom{5}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^4\left(\dfrac{2}{3}\right)^1 = \dfrac{10}{243}$$ $$P(X=5) = \binom{5}{5}\left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = \dfrac{1}{243}$$ 第二階段出現偶數的機率為 $\dfrac{1}{2}$，若給定 $X$，獲獎機率為 $P(Y=X-1) = \dfrac{\binom{5}{X-1}}{32}$。 總獲獎機率 $$P(W) = P(X=3)P(Y=2) + P(X=4)P(Y=3) + P(X=5)P(Y=4)$$ $$= \dfrac{40}{243} \cdot \dfrac{10}{32} + \dfrac{10}{243} \cdot \dfrac{10}{32} + \dfrac{1}{243} \cdot \dfrac{5}{32}$$ $$= \dfrac{400 + 100 + 5}{243 \cdot 32} = \dfrac{505}{243 \cdot 32}$$ 獲獎條件下 $X=3$ 的條件機率 $$P(X=3|W) = \dfrac{400}{505} = \dfrac{80}{101}$$ 故填 $\dfrac{80}{101}$。