115 分科測驗數學甲第 13 題

115 分科測驗數學甲第 13 題

📅 115 年 📝 分科測驗數學甲第 13 題題型：非選課綱：108課綱

12-14題為題組

設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 $1$ 的二次式，且滿足 $q(x) = \int_1^x (x-t) p(t) \, dt$。根據上述，試回答下列問題。

試求 $p(x)$。

微積分基本定理微積分微積分

答案

$p(x)=3x^2-4x+1$

非選擇題

詳解

由 q12 得 $q(0)=q(1)=0$。又 $q(x)$ 為首項係數為 $1$ 的二次式，所以 $q(x)=x(x-1)$。題組條件為 $[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt$，因此 $$x^2(x-1)^2=x\int_1^x p(t)\,dt.$$ 兩邊同為多項式，得 $$\int_1^x p(t)\,dt=x(x-1)^2.$$ 對 $x$ 微分， $$p(x)=(x-1)^2+2x(x-1)=3x^2-4x+1.$$

題目來源：本題非大考試題，無官方考卷來源。

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