$E_1$ 與 $E_2$ 的法向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,1,2)$、$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(2,-1,1)$，故交線 $L$ 的方向向量可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1\times\overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(3,3,-3)$，即 $(1,1,-1)$。$L_3$ 的方向向量為 $(1,-1,3)$。平面 $E_3$ 同時含有方向 $(1,1,-1)$ 與 $(1,-1,3)$，其法向量可取 $$(1,1,-1)\times(1,-1,3)=(2,-4,-2),$$ 即 $(1,-2,-1)$。通過 $L_3$ 上點 $(3,-2,2)$，得 $x-2y-z=3+4-2=5$。故 $E_3:x-2y-z=5$。