15-17題為題組
考慮坐報空間中兩平面 $E_1: x + 2y + 2z = 2$、$E_2: 2x - y + 2z = 1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。
承16，設另一平面 $E$ 與三平面 $E_1, E_2, E_3$ 皆垂直，且設 $E$ 分別與 $E_1$、$E_2$、$E_3$ 的三條交線在 $E$ 上所圍出的三角形為 $\Gamma$。試證明 $\Gamma$ 為正三角形並求 $\Gamma$ 的邊長。
詳解
由 q16 得三平面法向量
$$\overset{\large\rightharpoonup}{n}_1=(1,1,2),\; \overset{\large\rightharpoonup}{n}_2=(2,-1,1),\; \overset{\large\rightharpoonup}{n}_3=(1,-2,-1).$$
可驗算三者皆與向量 $(1,1,-1)$ 垂直，所以與三平面皆垂直的平面 $E$ 可寫成 $x+y-z=k$。令 $E$ 與 $E_i,E_j$ 的交線交點為 $E_i\cap E_j\cap E$。解聯立可得三個頂點分別為
$$A=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right),\; B=\left(\dfrac{7}{3},-\dfrac{5}{3},\dfrac{2}{3}\right),\; C=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$$
（取 $k=0$；改變 $k$ 只會平移圖形，不改邊長）。計算
$$AB^2=8,\; AC^2=8,\; BC^2=8,$$
因此 $\Gamma$ 為正三角形，邊長為 $2\sqrt{2}$。