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115 分科測驗數學乙 第 9 題
📅 115 年 📝 分科測驗數學乙 第 9 題 題型：多選 課綱：108課綱
某甲收集某廠牌車輛 $50$ 筆行車速率（公里／小時）與煞停距離（公尺）的數據，並以行車速率為 $x$ 軸、煞停距離為 $y$ 軸繪製成散布圖，如下圖所示，其中直線 $L$ 為 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）。已知此 $50$ 筆行車速率與煞停距離數據的平均數分別為 $24.8$ 與 $12.6$，相關係數為 $0.8$，且直線 $L$ 通過點 $(6.8,0)$。試選出正確的選項。
第 9 題散布圖與迴歸直線
第 9 題散布圖與迴歸直線
  1. 直線 $L$ 通過點 $(12.6,24.8)$
  2. 直線 $L$ 的斜率為 $0.8$
  3. 當此廠牌車輛的行車速率為每小時 $46.8$ 公里時，以最適直線 $L$ 推估其煞停距離應為 $28$ 公尺
  4. 設此 $50$ 筆數據行車速率的標準差為 $\sigma_x$，且煞停距離的標準差為 $\sigma_y$，則 $\sigma_x>\sigma_y$
  5. 若此 $50$ 筆數據改以煞停距離為 $x$ 軸、行車速率為 $y$ 軸，則 $y$ 對 $x$ 的最適直線斜率為 $\dfrac{10}{7}$
迴歸直線與相關係數數據分析數據分析
答案

$(3)(4)$

詳解
迴歸直線通過平均點 $(24.8,12.6)$ 與已知點 $(6.8,0)$，斜率為 $\dfrac{12.6}{18}=0.7$。故 $(1)$、$(2)$ 錯。當 $x=46.8$ 時，估計 $y=0.7(46.8-6.8)=28$，$(3)$ 對。又 $0.7=0.8\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$，所以 $\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}=\dfrac{7}{8}$，得 $\sigma_x>\sigma_y$，$(4)$ 對。若交換 $x,y$，斜率為 $0.8\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{32}{35}$，非 $\dfrac{10}{7}$，$(5)$ 錯。

題目來源：本題非大考試題，無官方考卷來源。

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解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。