設 $z = x + iy$，其中 $x, y \in \mathbb{R}$。依題意 $x \geq 0$。 首先考慮左式（模長平方）： $$ |1 + z|^2 = |(1 + x) + iy|^2 = (1 + x)^2 + y^2 = 1 + 2x + x^2 + y^2 $$ 因為 $|z|^2 = x^2 + y^2$，所以： $$ |1 + z|^2 = 1 + 2x + |z|^2 $$ 接著考慮右式（模長平方）： $$ \left( \dfrac{1 + |z|}{\sqrt{2}} \right)^2 = \dfrac{(1 + |z|)^2}{2} = \dfrac{1 + 2|z| + |z|^2}{2} $$ 考慮兩式平方之差： $$ \begin{aligned} |1 + z|^2 - \left( \dfrac{1 + |z|}{\sqrt{2}} \right)^2 &= (1 + 2x + |z|^2) - \dfrac{1 + 2|z| + |z|^2}{2} \\ &= \dfrac{2(1 + 2x + |z|^2) - (1 + 2|z| + |z|^2)}{2} \\ &= \dfrac{2 + 4x + 2|z|^2 - 1 - 2|z| - |z|^2}{2} \\ &= \dfrac{1 - 2|z| + |z|^2 + 4x}{2} \\ &= \dfrac{(1 - |z|)^2 + 4x}{2} \end{aligned} $$ 因為 $x \geq 0$，故 $4x \geq 0$；又實數平方 $(1 - |z|)^2 \geq 0$。因此： $$ \dfrac{(1 - |z|)^2 + 4x}{2} \geq 0 $$ 即： $$ |1 + z|^2 \geq \left( \dfrac{1 + |z|}{\sqrt{2}} \right)^2 $$ 由於 $|1 + z| \geq 0$ 且 $\dfrac{1 + |z|}{\sqrt{2}} > 0$，同時取算術平方根，即得： $$ |1 + z| \geq \dfrac{1 + |z|}{\sqrt{2}} $$ **等號成立條件：** 等號成立當且僅當 $(1 - |z|)^2 = 0$ 且 $4x = 0$。 - 由 $4x = 0$ 得 $x = 0$； - 由 $(1 - |z|)^2 = 0$ 得 $|z| = 1$。 將 $x = 0$ 代入 $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$，得 $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$。 故等號成立的條件為 $z = i$ 或 $z = -i$（即 $z = \pm i$）。