已知一個三角形的三條中線長度分別為 $3$、$4$、$5$，求此三角形的周長。

第 1 題

### 解法一：中線定理代數聯立解設三角形的三邊長分別為 $a$、$b$、$c$，對應的中線長度分別為 $m_a = 3$、$m_b = 4$、$m_c = 5$。根據三角形的中線定理（波羅密多定理），每條中線長度與三邊長的關係為： $$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$ $$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2 + 2a^2 - b^2}$$ $$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$ 將 $m_a = 3$、$m_b = 4$、$m_c = 5$ 代入並兩邊平方，可得到以下方程組： $$\begin{cases} 2b^2 + 2c^2 - a^2 = 4 \times 3^2 = 36 & \text{--- (1)}\\ 2c^2 + 2a^2 - b^2 = 4 \times 4^2 = 64 & \text{--- (2)}\\ 2a^2 + 2b^2 - c^2 = 4 \times 5^2 = 100 & \text{--- (3)} \end{cases}$$ 將 (1)、(2)、(3) 三式相加，得： $$3(a^2 + b^2 + c^2) = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = \frac{200}{3}$$ 將其代回各算式求解三邊長： - 利用 $2(a^2 + b^2 + c^2) - 3c^2 = 100$： $$2 \times \frac{200}{3} - 3c^2 = 100 \implies 3c^2 = \frac{100}{3} \implies c^2 = \frac{100}{9} \implies c = \frac{10}{3}$$ - 利用 $2(a^2 + b^2 + c^2) - 3b^2 = 64$： $$2 \times \frac{200}{3} - 3b^2 = 64 \implies 3b^2 = \frac{208}{3} \implies b^2 = \frac{208}{9} \implies b = \frac{4\sqrt{13}}{3}$$ - 利用 $2(a^2 + b^2 + c^2) - 3a^2 = 36$： $$2 \times \frac{200}{3} - 3a^2 = 36 \implies 3a^2 = \frac{292}{3} \implies a^2 = \frac{292}{9} \implies a = \frac{2\sqrt{73}}{3}$$ 因此，三角形的三邊長分別為 $\frac{2\sqrt{73}}{3}$、$\frac{4\sqrt{13}}{3}$、$\frac{10}{3}$。其周長為： $$\text{周長} = a + b + c = \frac{2\sqrt{73} + 4\sqrt{13} + 10}{3}$$ --- ### 解法二：延長中線構造平行四邊形/長方形坐標幾何解設 $\triangle ABC$ 的三條中線為 $AD = 3$、$BE = 4$、$CF = 5$，重心為 $G$。根據重心性質，重心分中線的比例為 $2:1$，故： $$GA = \frac{2}{3} AD = 2$$ $$GB = \frac{2}{3} BE = \frac{8}{3}$$ $$GC = \frac{2}{3} CF = \frac{10}{3}$$ 延長中線 $CF$ 至點 $Q$，使得 $FQ = FG = \frac{1}{3} CF = \frac{5}{3}$。由此可知 $GQ = \frac{10}{3}$。因為 $F$ 是 $AB$ 的中點，且 $GF = FQ$，在四邊形 $AGBQ$ 中，對角線 $AB$ 與 $GQ$ 互相平分，所以四邊形 $AGBQ$ 是一個平行四邊形。在平行四邊形 $AGBQ$ 中，相鄰兩邊與對角線長度分別為： $$GA = 2$$ $$AQ = GB = \frac{8}{3}$$ $$GQ = \frac{10}{3}$$ 觀察 $\triangle GAQ$ 的三邊長關係： $$GA^2 + AQ^2 = 2^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2 = 4 + \frac{64}{9} = \frac{100}{9} = \left(\frac{10}{3}\right)^2 = GQ^2$$ 根據勾股定理逆定理，$\triangle GAQ$ 為直角三角形，且 $\angle GAQ = 90^\circ$。因為平行四邊形 $AGBQ$ 有一個內角為直角，所以四邊形 $AGBQ$ 是一個**長方形**。長方形的對角線相等，因此： $$AB = GQ = \frac{10}{3}$$ 為了求另外兩邊，我們以直角頂點 $A$ 為原點 $(0,0)$ 建立直角坐標系，使射線 $AQ$ 在 $x$ 軸正方向，射線 $AG$ 在 $y$ 軸正方向： - $A = (0,0)$ - $G = (0, 2)$ （因為 $GA = 2$） - $Q = \left(\frac{8}{3}, 0\right)$ （因為 $AQ = \frac{8}{3}$） - $B = \left(\frac{8}{3}, 2\right)$ （由於 $AGBQ$ 為長方形）根據重心坐標公式，重心 $G = \frac{A + B + C}{3}$，故： $$(0, 2) = \frac{(0,0) + \left(\frac{8}{3}, 2\right) + C}{3}$$ $$(0, 6) = \left(\frac{8}{3}, 2\right) + C \implies C = \left(-\frac{8}{3}, 4\right)$$ 計算三頂點間的距離： - $AB = \frac{10}{3}$ - $AC = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} - 0\right)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + 16} = \sqrt{\frac{208}{9}} = \frac{4\sqrt{13}}{3}$ - $BC = \sqrt{\left(-\frac{8}{3} - \frac{8}{3}\right)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{\left(-\frac{16}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{256}{9} + 4} = \sqrt{\frac{292}{9}} = \frac{2\sqrt{73}}{3}$ 將三邊長相加即得周長： $$\text{周長} = AB + AC + BC = \frac{10 + 4\sqrt{13} + 2\sqrt{73}}{3}$$ --- ### 解法三：重心性質與海龍公式求面積利用重心性質，將中線 $AD$ 延長一倍至 $P$（即 $GD = DP = 1$），則四邊形 $GBPC$ 為平行四邊形。 $\triangle GBP$ 的三邊長分別為 $GB = \frac{8}{3}$、$GP = 2$、$BP = GC = \frac{10}{3}$。由於其三邊滿足直角三角形比例（$6:8:10$），其面積為： $$\text{面積}(\triangle GBP) = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 2 = \frac{8}{3}$$ 而平行四邊形 $GBPC$ 的面積為 $\triangle GBP$ 面積的 2 倍： $$\text{面積}(GBPC) = 2 \times \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$ 根據重心性質，$\triangle ABC$ 的面積等於平行四邊形 $GBPC$ 面積的 $\frac{3}{2}$ 倍： $$\text{面積}(\triangle ABC) = 3 \times \text{面積}(\triangle GBC) = 3 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{面積}(GBPC)\right) = 3 \times \frac{8}{3} = 8$$