90學測數學多選第6題詳解

由 $a=bq+r$ 可知，$a$ 與 $b$ 的公因數等同於 $b$ 與 $r$ 的公因數，所以 $(a,b)=(b,r)$，選項 $(1)$ 正確。 又因 $a=bq+r$，若 $d$ 同時整除 $a$ 與 $q$，則 $d$ 也整除 $r=a-bq$；反之若 $d$ 同時整除 $q$ 與 $r$，則 $d$ 也整除 $a=bq+r$。因此 $(a,q)=(q,r)$，選項 $(4)$ 正確。 其餘選項不一定成立：取 $b=6,q=2,r=3$，則 $a=15$，此時 $(a,b)=3$ 但 $(q,r)=1$，故 $(2)$ 錯；且 $(a,q)=1$ 但 $(b,r)=3$，故 $(3)$ 錯。再取 $b=2,q=2,r=1$，則 $a=5$，此時 $(a,r)=1$ 但 $(b,q)=2$，故 $(5)$ 錯。 故正確選項為 $(1)(4)$。