91指考數學乙選填第4題詳解

設焦點 $F$ 的坐標為 $(c, 0)$，其中 $c > 0$。橢圓在 $x$ 軸上的兩個長軸頂點分別為 $(-a, 0)$ 與 $(a, 0)$。 根據題意，這兩個頂點到焦點 $F(c, 0)$ 的距離分別為 $5$ 與 $1$： $$a + c = 5$$ $$a - c = 1$$ 兩式相加可得： $$2a = 6 \implies a = 3$$ 兩式相減可得： $$2c = 4 \implies c = 2$$ 由橢圓的不變性質 $a^2 = b^2 + c^2$（其中 $a > b$），可得： $$b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \implies b = \sqrt{5}$$ 因此，$(a, b) = (3, \sqrt{5})$。