92指考數學乙多選第5題詳解

📅 92 年 📝 指考數學乙第 5 題題型：多選課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(1)(4)$

本題考點：旋轉矩陣、正三角形、旋轉、複數平面與應用

如圖所示在坐標平面上，$\triangle OAB$ 為一正三角形，其中點 $A$ 的坐標為 $(1,2)$，點 $B$ 為 $(b_1,b_2)$。試問下列何者為真？

$b_1+ib_2=(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)(1+2i)$
$b_1+ib_2=(\cos 60^\circ-i\sin 60^\circ)(1+2i)$
$(b_1,b_2)=(-1,2)$
$\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos 60^\circ & -\sin 60^\circ\\\sin 60^\circ & \cos 60^\circ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos 60^\circ & \sin 60^\circ\\-\sin 60^\circ & \cos 60^\circ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$

旋轉矩陣正三角形旋轉複數平面與應用

解題手法公式代入〔AI 推測〕

答案

$(1)(4)$

依原圖，B 位於 OA 逆時針旋轉 60° 的位置，故 (1)(4) 正確；(2)(5) 為順時針旋轉，與圖不符；(3) 不符。官方答案表已對照。

詳解

$O(0,0)$，$A(1,2)$。由原圖可見 $B$ 位於 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 逆時針旋轉 $60^\circ$ 的位置。複數表示：$z_A=1+2i$，逆時針旋轉 $60^\circ$ 得 $$z_B=(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)(1+2i)$$ 故 $(1)$ 正確，$(2)$ 為順時針旋轉，與圖不符。矩陣表示：逆時針旋轉矩陣為 $$\begin{bmatrix}\cos 60^\circ & -\sin 60^\circ\\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ\end{bmatrix}$$ 故 $(4)$ 正確，$(5)$ 的矩陣不是圖中方向。 $(3)$ $(-1,2)$ 代入檢驗：$|(-1,2)|=\sqrt{5}$，$|(1,2)|=\sqrt{5}$，但 $(-1,2)\cdot(1,2)=3 \neq \dfrac{5}{2}$，夾角非 $60^\circ$。故選 $(1)(4)$。

題目來源：民國92年指考數學乙第5題（來源PDF第4頁）

資料版本：2026-06-18（commit 5d8945e1）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈92指考數學乙多選第5題詳解〉，資料版本 2026-06-18，https://twmath.com/questions/092_07B_q05

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。