86學測數學選填第20題詳解

設隨機變數 $X$ 為擲出的三粒骰子中，點數為 $n$ 的骰子顆數，則 $X$ 服從二項分佈 $B\left(3, \dfrac{1}{6}\right)$。 各種情況的機率與其對應的報酬如下： - $P(X=3) = \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 = \dfrac{1}{216}$，可得 $3$ 元； - $P(X=2) = C^3_2 \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \left(\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{15}{216}$，可得 $2$ 元； - $P(X=1) = C^3_1 \left(\dfrac{1}{6}\right) \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{75}{216}$，可得 $1$ 元； - $P(X=0) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}$，損益為 $-1$ 元。 玩此遊戲一次的期望值為： $$E = 3 \times \dfrac{1}{216} + 2 \times \dfrac{15}{216} + 1 \times \dfrac{75}{216} + (-1) \times \dfrac{125}{216}$$ $$E = \dfrac{3 + 30 + 75 - 125}{216} = -\dfrac{17}{216} \text{ 元}$$ 期望值為 $-\dfrac{17}{216}$ 元。