89學測數學選填第16題詳解

1. 以恆春為原點 $O$，建立平面坐標系。 2. 設颱風中心初始位置為 $A$（恆春東南方 $400$ 公里），末位置為 $B$（恆春南 $15^\circ$ 西 $200$ 公里）。 3. 因為由方位角可知，所以向量 $\overline{OA}$ 與 $\overline{OB}$ 的夾角 $\angle AOB = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$。 4. 在 $\Delta OAB$ 中，由餘弦定理： $$\overline{AB}^2 = \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 - 2\overline{OA} \times \overline{OB} \cos 60^\circ$$ $$\overline{AB}^2 = 400^2 + 200^2 - 2(400)(200)\left(\frac{1}{2}\right) = 160000 + 40000 - 80000 = 120000$$ $$\overline{AB} = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \text{ 公里}$$ 5. 颱風移動 $20$ 小時，其平均速度為： $$\text{平均速度} = \frac{200\sqrt{3}}{20} = 10\sqrt{3} \approx 10 \times 1.732 = 17.32 \approx 17 \text{ 公里/時}$$