89學測數學選填第17題詳解

1. 因為兩球在桌面上相切，所以設大球中心為 $O_1$，半徑 $R = 20$ 公分，與桌面接觸點為 $A$。 設小球中心為 $O_2$，半徑 $r = 5$ 公分，與桌面接觸點為 $B$。 2. 過 $O_2$ 作 $O_2H \perp O_1A$ 於 $H$。 3. 在直角三角形 $\Delta O_1O_2H$ 中： - 斜邊為兩球心連線：$\overline{O_1O_2} = R + r = 20 + 5 = 25$ 公分。 - 直角邊 $\overline{O_1H} = R - r = 20 - 5 = 15$ 公分。 - 另一直角邊 $\overline{O_2H}$ 的長度即為接觸點距離 $\overline{AB}$。 4. 根據畢氏定理： $$\overline{AB} = \overline{O_2H} = \sqrt{\overline{O_1O_2}^2 - \overline{O_1H}^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{400} = 20 \text{ 公分}$$