在直角三角形 $ABC$ 中，由於 $\angle A$ 為直角，根據畢氏定理： $$\overline{AC} = \sqrt{\overline{BC}^{\,2} - \overline{AB}^{\,2}} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11}$$ 設 $\angle ABC = \theta$，則： $$\cos \theta = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \dfrac{5}{6}$$ 已知 $\angle ABD = 2\angle ABC = 2\theta$。在直角三角形 $ABD$ 中： $$\cos(\angle ABD) = \cos(2\theta) = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}} = \dfrac{5}{\overline{BD}}$$ 利用餘弦的二倍角公式： $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 2\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{25}{36}\right) - 1 = \dfrac{50}{36} - 1 = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}$$ 因此： $$\dfrac{5}{\overline{BD}} = \dfrac{7}{18} \implies \overline{BD} = \dfrac{90}{7}$$ 故填 $\dfrac{90}{7}$。