99學測數學選填第18題詳解

1. 拋物線 $y=x^2+ax+b$ 與 $x$ 軸交於 $P,Q$。設其橫坐標為 $x_1,x_2$，由根與係數： $$x_1+x_2=-a,\; x_1x_2=b$$ 2. 已知 $\overline{PQ}=|x_1-x_2|=7$： $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4b=49$$ 3. 第二條拋物線 $y=x^2+ax+b+2$ 與 $x$ 軸交於 $R,S$。設其橫坐標為 $x_3,x_4$，則 $x_3+x_4=-a$，$x_3x_4=b+2$。因為根與係數關係相同，所以 \begin{aligned} \overline{RS}^2&=(x_3-x_4)^2=(x_3+x_4)^2-4x_3x_4\\[4pt] &=a^2-4(b+2)=a^2-4b-8 \end{aligned} 4. 代入 $a^2-4b=49$： $$\overline{RS}^2=49-8=41\;\implies\;\overline{RS}=\sqrt{41}$$ 故 $\overline{RS}=\sqrt{41}$。