設拋物線 $y = x^2 + ax + b$ 與 $x$ 軸兩交點 $P, Q$ 的橫坐標分別為 $x_1, x_2$。 由根與係數的關係： $$x_1 + x_2 = -a,\ x_1 x_2 = b$$ 已知兩交點距離 $\overline{PQ} = |x_1 - x_2| = 7$，因此： $$\overline{PQ}^{\,2} = (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = a^2 - 4b = 7^2 = 49$$ 得關係式： $$a^2 - 4b = 49$$ 設另一拋物線 $y = x^2 + ax + b + 2$ 與 $x$ 軸的兩交點 $R, S$ 的橫坐標分別為 $x_3, x_4$。 根據根與係數的關係： $$x_3 + x_4 = -a,\ x_3 x_4 = b + 2$$ 其兩交點距離為 $\overline{RS} = |x_3 - x_4|$，其平方為： $$\overline{RS}^{\,2} = (x_3 - x_4)^2 = (x_3 + x_4)^2 - 4x_3 x_4 = a^2 - 4(b + 2) = a^2 - 4b - 8$$ 代入已知的 $a^2 - 4b = 49$ 得： $$\overline{RS}^{\,2} = 49 - 8 = 41 \implies \overline{RS} = \sqrt{41}$$ 故填 $\sqrt{41}$。