在 $\triangle ABC$ 中，設 $\angle C = \theta$，則 $\angle A = 2\theta$。 根據正弦定理： $$\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C} \implies \dfrac{3}{\sin 2\theta} = \dfrac{2}{\sin \theta}$$ 利用正弦二倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$，代入得： $$\dfrac{3}{2\sin \theta \cos \theta} = \dfrac{2}{\sin \theta}$$ 由於 $\theta$ 為三角形內角，$\sin \theta \neq 0$，同乘 $\sin \theta$ 後整理： $$\dfrac{3}{2\cos \theta} = 2 \implies \cos \theta = \dfrac{3}{4}$$ 接著，利用餘弦定理求 $AC$。設 $AC = x$： $$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2(BC)(AC)\cos C$$ $$2^2 = 3^2 + x^2 - 2(3)(x)\left(\dfrac{3}{4}\right)$$ $$4 = 9 + x^2 - \dfrac{9}{2}x \implies x^2 - \dfrac{9}{2}x + 5 = 0 \implies 2x^2 - 9x + 10 = 0$$ 因式分解得： $$(2x - 5)(x - 2) = 0 \implies x = \dfrac{5}{2} \text{ 或 } x = 2$$ 我們檢驗 $x$ 的值： - 若 $AC = 2$： 因為 $AB = 2$，此時 $\triangle ABC$ 為以 $A$ 為頂點的等腰三角形，故 $\angle B = \angle C = \theta$。 三角形內角和為 $\angle A + \angle B + \angle C = 2\theta + \theta + \theta = 4\theta = 180^\circ \implies \theta = 45^\circ$。 然而，此時 $\cos \theta = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq \dfrac{3}{4}$，故 $AC = 2$ 不合。 因此，我們得到 $AC = \dfrac{5}{2}$。 故填 $\dfrac{5}{2}$。